ETUDE DE QUELQUES PROBLEMES AUX LIMITES GOUVERNES PAR LE SYSTEME DE pdfLAME AFFECTE D'UN POIDS DANS UN POLYGONE

   M.S. SAID

 ملخص: ندرس في هذا العمل عدة مسائل قطع ناقصية تتحكم فيها جملة لامي المزودة بواسطة د الة وزن و ذلك داخل ساحة مفتوحة و مضلعة. .سنثبت إن دالة الوزن هذه تلعب دورا مهما في دراسة وجود الحلول لهذه المسائل. ان وجود الحل لمثل هذه المسائل   في الحالة العادية يتعلق بزوايا المضلع حيث انه من اجل بعض القيم لهذه الزوايا فان الحل لا يكون موجود.  لكن اذا زودنا مؤثر لامي بدالة وزن مختارة جيدا فان وجود الحل لا يكون متعلق بزوايا المضلع . هذه الدراسة  متكاملة و هي تشمل الدراسة العادية.

  Abstract : In this work, we  study some problems controlled by the system of Lame disturbed by a weight function, in an open limited plan, with polygonal border. It will be shown that this weight function plays a very important part in the study of the existence of the solution of these problems. In the traditional case, the existence of the solution of these problems depends on the openings of the angles of the polygon, but if we affect  the operator of  Lame by a suitably selected weight function, one will show that the solution does not depend on the angles of the polygon. This study is more original and it covers the traditional case

 Résumé : Dans ce travail, on étudie quelques problèmes aux limites gouvernés par le système de Lamé affecté d' une fonction poids, dans un ouvert plan borné, à frontière polygonale. On montrera que cette fonction poids jouent un rôle très important dans l'étude de l'existence de la solution de ces problèmes. Dans le cas classique,  la solution de ces problèmes dépend des ouvertures des angles du polygone,  par contre si on perturbe l'opérateur de Lamé par une fonction poids convenablement choisie,  on montrera que l'existence de la solution ne dépend plus des angles, la solution sera dans un espace fonctionnel avec poids plus riche. Cette étude est plus originale et elle recouvre le cas classique.

1 INTRODUCTION

 On considère le problème aux limites suivant:

Le problème (6) est un problème différentiel ordinaire du second ordre par rapport à la variable   et dépendant d'un paramètre complexe . Ce problème admet une fonction de Green ,

Le problème (8) est un problème différentiel ordinaire du second ordre par rapport à la variable  et dépendant d'un paramètre complexe . La solution générale du problème (8), s'écrit:

pour la condition de Neumann.

 Ce qui veut dire que le comportement singulier des solutions du problème (3), est gouverné par l'équation transcendante (9 ou (10) selon la condition aux limites utilisée.

 R Lozi [9], a élaboré un algorithme de résolution numérique pour ce type d'équations, les solutions de cette équation déterminent les solutions singulières du problème (3).

 Dans Merouani [11],  on trouve un tableau qui récapitule suivant les valeurs de j , et suivant les conditions aux limites, les termes les plus singuliers d'un développement de toute solution variationnelle  du problème (10), au voisinage du sommet de Wj,  pour plus de détails c.f. [11].

 5 EXTENSION DE L'ETUDE DU PROBLEME AU POLYGONE ENTIER

 Dans ce paragraphe on se propose d’étendre l’étude du problème (6), déjà faite dans un secteur plan infini Wj d’ouverture j au polygone W tout entier.

 Pour étendre cette étude au polygone tout entier, on utilisera une partition de l’unité de celui-ci

 Soit donc (wk) k=1,…,N une partition de l’unité de classe   du polygone W, qui isole chacun des sommets Sk  k=1..,N de W,  Sk étant le sommet de l’angle de W d’ouverture jk  k=1,…,N

 est la  frontière de l'ouvert régulier O, et  f  est la fonction qui représente le second membre du problème initial (1). Pour ce problème il n’est pas nécessaire de l’affecter d’un poids puisqu’il est défini sur un ouvert régulier (d’ailleurs  la fonction poids vaut 1 à ce niveau)

 L'étude du problème (11) est totalement classique,  et les résultats de cette étude sont connus, donc pour ce problème , les inégalités à priori sont vérifiées.

 L’ouvert  régulier O étant défini par

REFERENCES

[1] AGMON  S, Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand Mathematical studies, n.2 Princeton , 1965

 [4] DAUGE .M Problème de Dirichlet pour le Laplacien Séminaire des E.D.P. Nantes 1982-1983

[5] H.REINHARD équations aux dérivées partielles  DUNOD Paris 1991chap 8

[6] GRISVARD .P Alternative de Fredholm relative au problème de Dirichlet dans un polygone ou un polyèdre , Boll. Un. Mat. Italie,(4) . 5 1972 pp132-164

[7] GRISVARD .P Singularités des solutions du problème de Stokes dans un polygone

Séminaire d’analyse fonctionnelle IREM , Nice 1979

 [8] LIONS ,J.L et MAGENES. E,  Problèmes aux limites  non homogènes et applications Tome 1 Dunod 1968

[9] LOZI R,  Résultats numériques de régularité du problème de Stockes et du Laplacien itéré dans un polygone, Journal of Applied Mathematics, R.A.I.R.O, Nairobi , vol (12) 1978 pp267

[10]  MERIGOT  .M  Etude du problème D u = f dans un polygone plan, inégalités à priori  Boll Un,. Mat. Italie(4) 10 1974 pp577

[11] MEROUANI .B  Solutions Singulières du système de l’élasticité  dans un polygone pour différentes conditions aux limites  Maghreb. Math Rev, . Vol 5, Nos 1&2, 1996, pp 95-112

[12 SAID .M.S  Etude du problème adjoint du Laplacien avec poids dans un polygone thèse de Magister , université de Constantine Algérie 1993

[13] SAID  .M.S   MEROUANI  B Role des poids dans l'étude de quelques problèmes aux limites gouvérnes par le sysème de Lamé av dans un polygone  Rev Roum des Sc Tech série Mec Appl. Volume 47 pp janv 2002  )

[12 SAID .M.S  Etude du problème adjoint du Laplacien avec poids dans un polygone thèse de Magister , université de Constantine Algérie 1993

[12 SAID .M.S  Etude du problème adjoint du Laplacien avec poids dans un polygone thèse de Magister , université de Constantine Algérie 1993