ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UN PROBLEME DE CONTACT UNILATERAL D'UNE PLAQUE MINCE pdfCONTRE UN OBSTACLE RIGIDE DANS L'ELASTICITE LINEAIRE

  D. A. CHACHA1 & A. BENSAYAH2

 1M.C. Université Kasdi Merbah-Ouargla.

 2M.A. Université Kasdi Merbah-Ouargla

 Résumé: En 2002, J.C.Paumier a réalisé une modélisation asymptotique, d'un problème de contact unilatéral, d'une plaque mince de type de Kirchhoff-Love contre un obstacle rigide avec frottement de Coulomb. Il a prouvé que    solution du problème variationnel tridimensionnel, converge vers    une limite caractérisée par un problème bidimensionnel sans frottement. Notre objectif est de valider ce résultat par le moyen d'une analyse asymptotique formelle en montrant que le terme dominant    dans le développement asymptotique de    est caractérisé par le même problème bidimensionnel. 

  Mots clés: plaque mince, contact unilatéral, Signorini, frottement de Coulomb, analyse asymptotique.

  Abstract: In 2002, J.C.Paumier has studied a Signorini problem with Coulomb friction of a clamped Kirchhoff-Love thin plate model, where he has proved that    the solution of the three-dimensional problem, converges to    characterized by a two-dimensional problem without friction. The aim of this paper is to valid this result using a formal asymptotic analysis approach, where we prove that the leading term    in the asymptotic expansion of    is characterized by the same two dimensional problem.

 Key words: thin plate, unilateral contact, Signorini, Coulomb friction, asymptotic analysis.

1  Introduction

 Le contact unilatéral des corps élastiques, avec ou sans frottement, est une contrainte mécanique souvent rencontrée en modélisation. La formulation de ce problème (sans frottement) a été décrite par Signorini en 1933. C'est en 1963 que Fichera  [2]  a réalisé l'analyse mathématiques de ce problème à travers un problème de minimisation équivalent (méthode d'énergie). De nouveaux résultats d'existence, pour une classe de problèmes de contact sans frottement, ont été proposés par Duvaut, Lions et d'autres pour le cas de frottement non local (loi de Tresca), paru en 1972 dans  [1], où ils ont signalé un problème ouvert d'existence et d'unicité dans le cas avec frottement local (loi de Coulomb). Beaucoup de travaux traitant ce problème ont été publiés depuis.

 Pour le cas des structures minces, i.e, les corps élastiques dont l'une des dimensions (l'épaisseur) est petite devant les autres, par exemples: plaques minces, coques minces et filaments. Ces modèles ont été proposés par Kirchhoff, Love, Reissner, Mindlin, Naghdi, Von Kàrmàn et Koiter en se basant sur quelques hypothèses. Parmi ces modèles on s'intéresse au modèle de plaque mince de Kirchhoff-Love qui a été justifié par une analyse asymptotique en 1979 par Ciarlet et Destyunder [7].  L'étude d'un problème de contact unilatéral d'une plaque mince contre un obstacle rigide avec frottement de Coulomb a été réalisée par Dhia [3]  en utilisant une méthode de pénalisation. En 2002, J.C.Paumier [4] , [5]  a réalisé une modélisation asymptotique d'un problème de contact unilatéral d'une plaque mince de type Kirchhoff-Love encastrée, contre un obstacle rigide où il a prouvé que ce problème tridimensionnel avec frottement tend vers un problème bidimensionnel sans frottement.

 Ce présent travail présente l'étude asymptotique formelle d'un problème élasto-statique de contact unilatéral, avec frottement de Coulomb, d'une plaque mince élastique contre un obstacle rigide, avec les conditions de complémentarité dites les conditions de Signorini et ceci sur la partie condidate au contact. Ce qui reste du bord est divisé en deux parties, une subit une force surfacique, l'autre est encastrée. Enfin une conclusion qui comporte les résultats essentiels.

 Dans toute la suite on utilise les conventions de notations suivantes: les indices ou exposants Latins prennent leurs valeurs dans {1,2,3} et les indices Grecs dans l'ensemble {1,2} à l'exception de    et   . La convention de sommation par rapport aux indices et exposants répétés est adoptée.

5  Conclusion

  Dans ce travail, on vient d'appliquer la méthode des développements asymptotiques formels à un problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb d'une plaque mince contre un obstacle rigide. Au premier ordre significatif, on obtient un problème unilatéral bidimensionnel sans frottement qui est le même résultat obtenu par Paumier [4],[5] avec la méthode de convergence. On remarque que dans le problème limite il ya une perte du terme frottement dû au fait que la force de frottement (en   ) est d'un ordre moins élevé que la force de pression de contact (en    ) et du fait que cette dernière contrôle la force de frottement. Afin de faire apparaître le terme de frottement il faut aller aux ordres suivants dans le développement asymptotique.

 REFERENCES

[1]  G.Duvaut, J.L.Lions, « Les inéquations en mécanique et en physique ». Dunod 1972.

 [2]  G.Fichera, « Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di signorini con ambigue condizioni al contorno », Mem. Accad. Naz. Lincei Ser., VIII(7), 91-140 (1964).

 [3]  H.B.Dhia, « Equilibre d'une plaque mince élastique avec contact unilatéral et frottement de type Coulomb », C. R. Acad. Sci. Paris, Scr. I, 308 (1989) 293-296.

 [4]  J.C. Paumier, « Le problème de Signorini dans la théorie des plaques minces de Kirchhoff-Love », note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série 1, t. 335, 2002, p. 567-570.

 [5]  J.C.Paumier, « Modélisation asymptotique d'un problème de plaque mince en contact unilatéral avec frottement sur un obstacle rigide », Rapport technique LMC-IMAG, juillet 2002   

 [6]  J.C.Paumier, « Contact unilatéral des structures minces: modélisation, calcul et applications ». Annals of University of Craiova, Marth. Comp. Sci. Ser. Volume 30, 2003, Pages 177-187. Kikuchi, Oden, Contact problems in elasticity: a study of variaional inéqualities and finit element methods, SIAM, Studies in applied mathematics, 1988.

 [7]  P.G.Ciarlet, P.Destuynder, “A justification of the two dimensional plate model”, J. Mécanique, 18 (1979) 315-344.

 [8]  P.G.Ciarlet, “Plates and Junctions in elastic multistrutures”. Masson 1990.

 [9]  A. Bensayah,  Modélisation asymptotique du problème de Signorini avec frottement pour les plaques minces”, Mémoire de Magister Université de Ouargla , 2006.