Un Modèle Quantique d’un Accélérateur de Fermi dans un champ Gravitationnel

Mohamed Abdelwahab Benbitour* et Mohammed Tayeb Meftah

Univ Ouargla, Fac. des Mathématiques et des Sciences de la Matière,

Lab. Rayonnement et Plasmas et Physique des Surfaces, Ouargla 30 000 (Algérie)

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RÉSUMÉ : Dans cet article, nous présentons une solution du problème d'un accélérateur de Fermi quantifié, où l’un des bords (piston) est soumis à un champ gravitationnel. Nous présentons notre solution sous une forme de série de fonctions de Meijer. Dans cet article, nous utilisons une nouvelle méthode pour construire une solution de l'équation de Schrödinger avec un potentiel linéaire central.

MOTS-CLÉS : Accélérateur de Fermi, potentiel linéaire, Fonction de Meijer

ABSTRACT: In this paper we present a closed solution of a quantized Fermi accelerator, where the large mass particle (piston) is subject to a gravitational field. We present our solution in a form using Meijer’s functions. In this paper we use a new method to construct a solution to the Schrödinger equation with a central linear potential. We derive the solution by solving it iteratively as a series sum of Meijer’s functions.

KEYWORDS: Fermi Accelerator, Linear potential, Meijer’s functions

1. Introduction

La dynamique des atomes dans une cavité gravitationnelle est un phénomène très intéressant qui a suscité plusieurs travaux théoriques [1] et expérimentaux [2]. Dans une cavité gravitationnelle atomique un nuage d'atomes est refroidi, jusqu’à quelque micro- Kelvin et est piégé par des forces magnéto-optique. Le piège est placé à une certaine hauteur au -dessus d'une plaque diélectrique. Sous l'influence du champ gravitationnel ces atomes à deux niveaux tombent vers un miroir atomique constitué d'un champ d'ondes évanescentes. Au début, les atomes quittent le piège magnéto-optiques, et commencent leurs chutes à partir d’une hauteur initiale connue, près de la surface du miroir l'effet du champ d’ondes évanescentes est dominant et les atomes ressentent un potentiel optique répulsif. Cette onde évanescente est créée par la réflexion interne totale d'un faisceau laser incident sur la surface plane d'un diélectrique. Le cumul des deux potentiels fait le puits gravitationnel. Après une incidence normale sur le miroir atomique, l'atome rebondit et se déplace dans le champ de gravitation. Ce genre de dispositif expérimental est une réalisation de l’accélérateur de Fermi.

Dans cet article, nous discutons un modèle simple de cavité gravitationnelle, nous considérons une particule quantique enfermée dans une cavité cylindrique hermétique fermée en haut par un piston d’une certaine masse. Le piston est en chute libre, sans friction, sous l’influence de la gravitation et subit les chocs de la particule enfermée, considérée. Nous soulignons que le problème que nous étudions ici implique un système de particule dans un puits de potentiel infini mais dont l’un des bords est en mouvement sous l’influence de la gravitation. La question d'un système isolé constitué d’une particule dans un puits infini mais dont l’un des bords étant libre a été considérée plus tôt dans la littérature [3]. Le problème où le bord est soumis à des forces du type harmonique a été considéré dans [4], dans le cadre de l'élaboration de la notion de pression dans le cadre quantique.

Dans cet article, nous présentons une nouvelle méthode pour construire une solution de l'équation de Schrödinger avec un potentiel linéaire central, qui a fait l’objet de notre travail dans [5]. Nous obtenons la solution de l’équation de Schrödinger par une méthode itérative en utilisant des séries de fonctions de Meijer. Dans un premier temps nous considérons l’aspect classique du problème, afin d’apprécier les traits généraux de la dynamique.

2. Traitement semi classique

Si nous traitons le système dans un cadre semi-classique, le mouvement de la particule (masse m) est quantique et celui du piston (le mur) de masse M est considéré comme classique. L’hamiltonien classique de M est donnée par :

A06010101

A06010102

A06010103

A06010104

3. Conclusion

Dans ce travail nous avons considéré le problème physique d’une particule quantique contrainte à évoluer entre deux parois impénétrables, l’un fixe et l’autre en chute libre. Nous avons donné une solution approchée pour la fonction d’onde. Ce même système, mais sans la pesanteur ce qui simplifie considérablement le problème, a été considéré dans [3]. Notre contribution a été d’ajouter la gravitation ce qui rend ce modèle plus proche de l’accélérateur de Fermi réel.

Références

[1] Wallis H., Dalibard J. et Cohen-Tannoudji C. ; Appl. Phys. B54 407- (1992)

[2] Raab E.L. et al. ; Phys. Rev. Lett. 59, 2631- (1987)

[3] Hussein M. S. ; Ann. Phys. 250, 3522-366 (1996)

[4] Borowski P., Gemmer J. et Mahler G., Europhys. Lett. 62, 629- (2003)

[6] Kleber M. ; Phys. Rep. 236 , 331 (1994)

[5] Benbitour M. A. et Meftah M. T. ; Rep. Math. Phys. 72,93-101 (2013)